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# primes

> Retorna uma tabela com uma única coluna `prime` que contém números primos.

* `primes()` – Retorna uma tabela infinita com uma única coluna `prime` (UInt64) que contém números primos em ordem crescente, a partir de 2. Use `LIMIT` (e, opcionalmente, `OFFSET`) para limitar o número de linhas.

* `primes(N)` – Retorna uma tabela com uma única coluna `prime` (UInt64) que contém os primeiros `N` números primos, a partir de 2.

* `primes(N, M)` – Retorna uma tabela com uma única coluna `prime` (UInt64) que contém `M` números primos a partir do `N`-ésimo número primo (indexação baseada em 0).

* `primes(N, M, S)` – Retorna uma tabela com uma única coluna `prime` (UInt64) que contém `M` números primos a partir do `N`-ésimo número primo (indexação baseada em 0), com passo `S` no índice dos primos. Os primos retornados correspondem aos índices `N, N + S, N + 2S, ..., N + (M - 1)S`. `S` deve ser `>= 1`.

Isso é semelhante à tabela de sistema [`system.primes`](/pt-BR/reference/system-tables/primes).

As consultas a seguir são equivalentes:

```sql theme={null}
SELECT * FROM primes(10);
SELECT * FROM primes(0, 10);
SELECT * FROM primes() LIMIT 10;
SELECT * FROM system.primes LIMIT 10;
SELECT * FROM system.primes WHERE prime IN (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29);
```

As consultas a seguir também são equivalentes:

```sql theme={null}
SELECT * FROM primes(10, 10);
SELECT * FROM primes() LIMIT 10 OFFSET 10;
SELECT * FROM system.primes LIMIT 10 OFFSET 10;
```

<div id="examples">
  ### Exemplos
</div>

Os 10 primeiros primos.

```sql theme={null}
SELECT * FROM primes(10);
```

```response theme={null}
  ┌─prime─┐
  │     2 │
  │     3 │
  │     5 │
  │     7 │
  │    11 │
  │    13 │
  │    17 │
  │    19 │
  │    23 │
  │    29 │
  └───────┘
```

O primeiro número primo maior que 1e15.

```sql theme={null}
SELECT prime FROM primes() WHERE prime > 1e15 LIMIT 1;
```

```response theme={null}
  ┌────────────prime─┐
  │ 1000000000000037 │ -- 1.00 quadrillion
  └──────────────────┘
```

Resolva uma restrição modular com números primos em um intervalo muito grande: encontre o primeiro primo `p >= 10^15` tal que `p` módulo `65537` seja `1`.

```sql theme={null}
SELECT prime
FROM primes()
WHERE prime >= 1e15
  AND prime % 65537 = 1
LIMIT 1;
```

```response theme={null}
 ┌────────────prime─┐
 │ 1000000001218399 │ -- 1.00 quadrillion
 └──────────────────┘
```

Os 7 primeiros primos de Mersenne.

```sql theme={null}
SELECT prime
FROM primes()
WHERE bitAnd(prime, prime + 1) = 0
LIMIT 7;
```

```response theme={null}
  ┌──prime─┐
  │      3 │
  │      7 │
  │     31 │
  │    127 │
  │   8191 │
  │ 131071 │
  │ 524287 │
  └────────┘
```

<div id="notes">
  ### Observações
</div>

* As formas mais rápidas são as consultas simples de intervalo e as consultas com filtro por ponto que usam o passo padrão (`1`), por exemplo, `primes(N)` ou `primes() LIMIT N`. Essas formas usam um gerador de primos otimizado para calcular números primos muito grandes com eficiência.
* Para fontes não limitadas (`primes()` / `system.primes`), filtros de valor simples, como `prime BETWEEN ...`, `prime IN (...)` ou `prime = ...`, podem ser aplicados durante a geração para restringir os intervalos de valores pesquisados. Por exemplo, a consulta a seguir é executada quase instantaneamente:

```sql theme={null}
SELECT sum(prime)
FROM primes()
WHERE prime BETWEEN 1e6 AND 1e6 + 100
   OR prime BETWEEN 1e12 AND 1e12 + 100
   OR prime BETWEEN 1e15 AND 1e15 + 100
   OR prime IN (9999999967, 9999999971, 9999999973)
   OR prime = 1000000000000037;
```

```response theme={null}
  ┌───────sum(prime)─┐
  │ 2004010006000641 │ -- 2.00 quadrilhões
  └──────────────────┘

1 row in set. Elapsed: 0.090 sec. 
```

* Esta otimização de intervalo de valores não se aplica a funções de tabela limitadas (`primes(N)`, `primes(offset, count[, step])`) com `WHERE`, porque essas variantes definem uma tabela finita pelo índice do número primo, e o filtro precisa ser avaliado após a geração dessa tabela para preservar a semântica.
* Usar um offset diferente de zero e/ou um passo maior que 1 (`primes(offset, count)` / `primes(offset, count, step)`) pode ser mais lento, porque talvez seja necessário gerar e ignorar internamente números primos adicionais. Se você não precisar de offset nem de passo, omita-os.